Качество измерения характеризующее величину систематических ошибок называется

Измерение
— экспериментальное сравнение, данной
величины с другой, такого же рода
величиной, принятой за единицу меры.

Задачей
измерения является:

1)
получение приблизительного значения
измеряемой величины;

2)
оценка величины погрешности.

Измерения
могут быть прямыми
и косвенными.

Прямое
измерение
непосредственное сравнение измеряемой
величины с единицей измерения с помощью
приборов и устройств, проградуированных
в соответствующих единицах (измерение
линейных размеров линейкой, штангенциркулем;
измерение времени секундомером;
взвешивание и т.п.)

Косвенно
измеряемая величина
рассчитывается с помощью некоторой
зависимости (формулы) от других величин,
полученных прямыми измерениями
(определение скорости v=s / t по пути и
времени, плотности ρ= m / v по массе и
объему и т.д.).

Любое
измерение не дает абсолютно точного
значения измеряемой величины – неточность
приборов, влияние внешних факторов,
трение и т.д., –поэтому измеренные
значения всегда отклоняются от истинного.
Эти отклонения называются ошибками
или погрешностями
измерений.

Источниками
погрешности являются: несовершенство
применяемых методов и средств измерений,
непостоянство влияющих на результат
измерения физических величин, а также
индивидуальные особенности экспериментатора.
Кроме того, на точность измерений влияют
внешние и внутренние помехи, климатические
условия и порог чувствительности
измерительного прибора.

Истинное
значение физической величины —
это значение, идеальным образом отражающее
свойство данного объекта, как в
качественном, так и в количественном
отношении. Оно не зависит от средств
нашего познания и является той абсолютной
истиной, к которой мы стремимся, пытаясь
выразить ее в виде числовых значений.

На
практике это абстрактное понятие
приходится заменять понятием
«действительное значение».

Действительное
значение физической величины
— значение, найденное экспериментально
и настолько приближающееся к истинному,
что для данной цели может быть использовано
вместо него.

Результат
измерения представляет
собой приближенную оценку истинного
значения величины, найденную путем
измерения.

Точность
измерений
отражает меру близости результатов
измерений к истинному значению измеряемой
физической величины. Высокой точности
измерений соответствует малая погрешность.

Так,
например, измерение силы тока в 10А и
100А может быть выполнено с идентичной
абсолютной погрешностью Δ = +1А.

Погрешность
результата измерения —
это разница между результатом измерения
и истинным (действительным) значением
измеряемой величины.

Погрешность
средства измерения —
разность между показаниями средства
измерения и истинным (действительным)
значением измеряемой физической
величины. Она характеризует точность
результатов измерений, проводимых
данным средством.

Эти
два понятия во многом близки друг к
другу и классифицируются по одинаковым
признакам.

Классификация
погрешностей

• В
  зависимости от формы выражения
  различают абсолютную, относительную
  и приведенную погрешности.

Абсолютной
погрешностью Δ,
выражаемой в единицах измеряемой
величины, называется отклонение
результата измерения х от истинного
значения х_и:

Δ
= х — х_и

Абсолютная
погрешность характеризует величину и
знак полученной погрешности, но не
определяет качество самого проведенного
измерения.

Понятие
погрешности характеризует как бы
несовершенство измерения. Качество
(точность) первого измерения ниже
второго. Поэтому, чтобы иметь возможность
сравнивать качество измерений, введено
понятие относительной погрешности.

Относительной
погрешностью δ
называется отношение абсолютной
погрешности измерения к истинному
значению измеряемой величины:

Мерой
точности измерений служит показатель,
обратный модулю относительной погрешности:

Относительную
погрешность δ часто выражают в процентах:

Приведенная
погрешность γ
— это отношение абсолютной погрешности
Δ к некоторому нормирующему значению
X_N
(например, к конечному значению шкалы
прибора или сумме значений шкал при
двусторонней шкале):

где
X_n —
нормирующее значение, которое зависит
от типа шкалы измерительного прибора
и определяется по его градуировке:

— если
шкала прибора односторонняя, то есть
нижний предел измерений равен нулю, то
X_n
определяется равным верхнему пределу
измерений;

— если
шкала прибора двухсторонняя, то
нормирующее значение равно ширине
диапазона измерений прибора.

Приведённая
погрешность является безразмерной
величиной, либо измеряется в процентах.

• По
  характеру (закономерности) проявления
  погрешности
  делятся на систематические, случайные
  и грубые (промахи).

Систематическая
погрешность
Δ_с
— составляющая погрешности измерения,
остающаяся постоянной или закономерно
меняющаяся при повторных измерениях
одной и той же физической величины.

Величина
систематической погрешности Δ_с
характеризует один из показателей
качества измерений — правильность
полученного результата, чем меньше
величина Δ_с,
тем правильнее полученный результат.

Систематическая
ошибка может быть обусловлена
неисправностью прибора, несовершенством
методики измерений (например неучетом
сил трения) и т.д

Такие
погрешности могут быть выявлены путем
детального анализа возможных их
источников и уменьшены введением
соответствующей поправки, применением
более точных приборов, калибровкой
приборов с помощью рабочих мер и пр.
Однако полностью их устранить нельзя.

Случайная
погрешность
— изменяющаяся случайным
образом по знаку и значению при повторных
измерениях одной и той же величины в
одних и тех же условиях.

Случайные
погрешности могут быть связаны с
несовершенством приборов (трение в
механических приборах и т. п.),
тряской в городских условиях, с
несовершенством объекта измерений
(например, при измерении диаметра тонкой
проволоки, которая может иметь не совсем
круглое сечение в результате несовершенства
процесса изготовления), с особенностями
самой измеряемой величины (например
при измерении количества элементарных
частиц, проходящих в минуту через счётчик
Гейгера).

Величина
случайной погрешности
характеризует другой
показатель качества измерений — сходимость
результатов при повторных измерениях
одного и того же значения измеряемой
физической величины.

В
отличие от систематических погрешностей
случайные погрешности нельзя исключить
из результатов измерений путем введения
поправки, однако, их можно существенно
уменьшить путем многократного измерения
этой величины и последующей статистической
обработкой полученных результатов.

Грубая
погрешность (промах)
— это случайная погрешность результата
отдельного наблюдения, входящего в ряд
измерений, которая для данных условий
резко отличается от остальных результатов
этого ряда.

Данные
погрешности возникают из-за ошибок
оператора или неучтенных внешних
воздействий.

• По
  причинам возникновения (по виду
  источника)

1
Инструментальные
погрешности
возникают
из-за несовершенства средств измерения,
т.е. от погрешностей средств измерений.
Иногда эту погрешность называют
аппаратурной.

Источниками
инструментальных погрешностей могут
быть, например, неточная градуировка
прибора и смещение нуля, вариация
показаний прибора в процессе эксплуатации
и т.д. Уменьшают инструментальные
погрешности применением более точного
прибора.

2
Внешняя погрешность —
важная составляющая погрешности
измерения, связанная с отклонением
одной или нескольких влияющих величин
от нормальных значений или выходом их
за пределы нормальной области (например,
влияние влажности, температуры, внешних
электрических и магнитных полей,
нестабильности источников питания,
механических воздействий и т.д.).

В
большинстве случаев внешние погрешности
являются систематическими и определяются
дополнительными погрешностями применяемых
средств измерений.

3
Методическая погрешность
обусловлена несовершенством метода
измерений, влиянием выбранного средства
измерений на измеряемые параметры
сигналов, некорректностью алгоритмов
или расчетных формул, по которым
производят вычисления, округления
результатов, отличием принятой модели
объекта измерений от той, которая
правильно описывает его свойство,
определяемое путем измерения.

Отличительной
особенностью методических погрешностей
является то, что они не могут быть указаны
в нормативно-технической документации
на используемое средство измерений,
поскольку от него не зависят, а должны
определяться оператором в каждом
конкретном случае. В связи с этим оператор
должен четко различать фактически
измеренную им величину и величину,
подлежащую измерению.

Если,
например, вольтметр имеет недостаточно
высокое входное сопротивление, то его
подключение к схеме способно изменить
в ней распределение токов и напряжений.
При этом результат измерения будет
отличаться от действительного.

Пример
1

Рассмотрим
появление методической погрешности
при измерении сопротивления методом
вольтметра-амперметра (рисунок 8).

Рисунок
8- К появлению методической погрешности

Для
определения значения сопротивления R_x
резистора необходимо измерить ток I_R,
протекающий через резистор и падение
напряжения на нем U_R.
В приведенной схеме, реализующей этот
метод, падение напряжения на резисторе
измеряется вольтметром непосредственно,
в то время как амперметр измеряет
суммарный ток, часть которого протекает
через резистор, часть через вольтметр.
В результате измеренное значение
сопротивления будет не R_x
= U_R
/ I_R,
а R’ = U_R
/ (I_R
+ I_v)
и появляется методическая погрешность
измерения ΔR = R’ — R_x
. Методическая погрешность уменьшается
и стремится к нулю при токе I_v
→ 0, т.е. при внутреннем сопротивлении
вольтметра R_v
→ ∞.

Методическую
погрешность можно уменьшить путем
применения более точного метода
измерения.

4
Субъективные (личные) погрешности
вызываются ошибками оператора при
отсчете показаний средств измерения
(погрешности от небрежности и невнимания
оператора, от параллакса, т.е. от
неправильного направления взгляда при
отсчете показаний стрелочного прибора
и пр.).

Подобные
погрешности устраняются применением
современных цифровых приборов или
автоматических методов измерения.

• В
  зависимости от влияния характера
  изменения измеряемых величин
  погрешности
  средств измерений делят на статические
  и динамические.

Статическая
погрешность
— это погрешность средств измерений
применяемого для измерения физической
величины, принимаемой за неизменную.

Динамической
называют
погрешность средств измерений, возникающая
дополнительно при измерении переменной
физической величины и обусловленная
несоответствием его реакции на скорость
(частоту) изменения измеряемого сигнала.

• По
  условиям, в которых используются
  средства измерения,
  различают основную и дополнительную
  погрешности.

Основная
погрешность
измерений — та погрешность, которая
имеет место при нормальных условиях
его эксплуатации, оговоренных в
регламентирующих документах (паспорте,
технических условиях и пр.)

Дополнительная
погрешность
средства измерения возникает вследствие
выхода какой-либо из влияющих величин
(температуры, влажности и др.) за пределы
нормальной области значений.

Пример
3

Вольтметр
предназначен для измерения переменного
тока с номинальным значением частоты
(50 ± 5)Гц. Отклонение частоты за эти
пределы приведет к дополнительной
погрешности измерения.

• По
  зависимости абсолютной погрешности
  от значений измеряемой величины
  различают
  погрешности (рисунок 9):

• аддитивные
  Δ_а
  , не зависящие от измеряемой величины;

• мультипликативные
  Δ_м
  , которые прямо пропорциональны
  измеряемой величине;

• нелинейные
  Δ_н
  , имеющие нелинейную зависимость от
  измеряемой величины.

Рисунок
9 — Аддитивная (а), мультипликативная
(б), нелинейная (в) погрешности

Эти
погрешности применяют в основном для
описания метрологических характеристик
средств измерений.

Примеры
аддитивных погрешностей — от постоянного
груза на чашке весов, от неточной
установки на нуль стрелки прибора перед
измерением, от термо-ЭДС в цепях
постоянного тока.

Причинами
возникновения мультипликативных
погрешностей могут быть: изменение
коэффициента усиления усилителя,
изменение жесткости мембраны или пружины
прибора, изменение опорного напряжения
в цифровом вольтметре.

Заканчивая
анализ классификации погрешностей
измерений, необходимo отметить, что она
(как и любая другая классификация) носит
досрочно условный (относительный)
характер.

Ответы
на вопросы, об отнесении погрешности
конкретного измерения к тем или иным
классам и о делении их на случайные и
систематические, могут бытъ даны лишь
при наличии полной информации о свойствах
параметров характеристик измеряемого
объекта, измерительных устройств,
условий, в которых проводились измерения,
а также, как правило, только после
проведения многочисленных повторных
измерений.

Наглядным
примером может служить климатическая
погрешность измерительного прибора.
Если возможен контроль температуры,
при которой проводятся измерения, и
имеется поправочная таблица, то такую
погрешность следует рассматривать как
систематическую. Однако при отсутствии
контроля температур эта же погрешность
учитывается как случайная.

Обобщённой
характеристикой средств измерения
является класс точности, определяемый
предельными значениями допускаемых
основной и дополнительной погрешностей,
а также другими параметрами, влияющими
на точность средств измерения; значение
параметров установлено стандартами на
отдельные виды средств измерений. Класс
точности средств измерений характеризует
их точностные свойства, но не является
непосредственным показателем точности
измерений, выполняемых с помощью этих
средств, так как точность зависит также
от метода измерений и условий их
выполнения. Измерительным приборам,
пределы допускаемой основной погрешности
которых заданы в виде приведённых
основных (относительных) погрешностей,
присваивают классы точности, выбираемые
из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0;
4,0; 5,0; 6,0)*10ⁿ,
где показатель степени n = 1; 0; −1; −2
и т. д.

Диапазон
измерений
— это
та часть диапазона показаний прибора,
для которой усыновлены погрешности
прибора (если известны погрешности
прибора, то диапазон измерений и показаний
прибора совпадает).

Разность
между
максимальным и минимальным показаниями
прибора называют
размахом.

Другой
характеристикой прибора является его
чувствительность,
т.
е. способность отсчитывающего устройства
реагировать на изменения измеряемой
величины. Под порогом чувствительности
прибора понимают наи­меньшее значение
измеряемой величины, вызывающее изменение
показания прибора, которое можно
зафиксировать.

Основной
характеристикой прибора является его
точность.
Она
характеризуется суммарной погрешностью.

Средства
измерения делятся на классы точности.
Класс
точности —
это
обобщенная характеристика, определяемая
пределами основной и дополнительных
допускаемых погрешностей, влияющих на
точность.

Стабильность
(воспроизводимость
прибора) — это свойство отсчетного
устройства
обеспечивать
постоянство показаний одной и той же
величины.

Все
средства измерения (приборы, используемые
для измерения в научных исследованиях)
проходят
периодическую
поверку
на
точность. Такая поверка предусматривает
определение и по возможности уменьшение
погрешностей приборов. Поверка позволяет
установить соответствие данного прибора
регламентированной степени точности
и определяет возможность его применения
для данных измерений, т. е. определяются
погрешности и устанавливается, не
выхолят ли они за пределы допускаемых
значении. Поверку средств измерений
производят на различных уровнях.

Государственные
метрологические институты и лаборатории
по надзору за стандартами и измерительной
техникой производят государственный
контроль за
обеспечением в стране единства мер.

В
периоды между государственными поверками
осуществляется ведомственная
поверка средств
измерений, которая по объему работ мало
чем от­личается от государственных
поверок. Такие поверки более оперативны
и про­водятся по специальному графику,
разработанному для данной организации.

Рабочая
поверка средств
измерений проводится в низовых звеньях
каждым экспериментатором непосредственно
в организациях перед началом из­мерений
и наблюдений.

Под
регулировкой
прибора понимают
операции, направленные на снижение
систематических ошибок до величины,
меньшей допустимой погрешности.

Качество измерений характеризуется точностью, достоверностью, правильностью, сходимостью, воспроизводимостью и погрешностью измерений.

Точность – это качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Высокая точность измерений соответсвует малым погрешностям как систематическим, так и случайным. Точность количественно оценивают обратной величиной модуля относительной погрешности. Напремер, если погрешность измерений равна 0,05%, то точность будет равна 1/0,0005 = 2000.

Достоверность измерений характеризует степень доверия к результатам измерений. Достоверность оценки погрешностей определяют на основе законов теории вероятностей и математической статистики. Это дает возможность для каждого конкретного случая выбирать средства и методы измерений, обеспечивающие получение результата, погрешности которого не превышают заданных границ.

Правильность измерений – качество измерений, отражающее близость к нулю систематических погрешностей в результатах измерений.

Сходимость – качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в одинаковых условиях. Сходимость измерений отражает влияние случайных погрешностей.

Воспроизводимость – это такое качество измерений, которое отражает близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в различных условиях (в различное время, в различных местах, разными методами и средствами).

Погрешность измерения – отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. Погрешность измерений представляет собой сумму ряда составляющих, каждая из которых имеет свою причину. Можно выделить слудующие группы причин возникновения погрешностей:

• неверная настройка средства измерений или смещение уровня настройки во время эксплуатации;
• неверная установка объекта измерения на измерительную позицию;
• ошибки в процессе получения, преобразования и выдачи информации в измерительной цепи средства измерений; 
• внешние воздействия на средство и объект измерений (изменение температуры и давления, влияние электрического и магнитного полей, вибрация и т.п.);
• свойства измеряемого объекта;
• квалификация и состояние оператора.

Анализируя причины возникновения погрешностей, необходимо в первую очередь выявить те из них, которые оказывают существенное влияние на резульат измерения. Анализ должен проводится в определенной последовательности.

Привет, Вы узнаете про погрешность измерения, Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
погрешность измерения, погрешности как характеристики средств измерений , настоятельно рекомендую прочитать все из категории МЕТРОЛОГИЯ И ЭЛЕКТРОРАДИОИЗМЕРЕНИЯ.

Измерение можно считать законченным, если найден не только результат измерения, но и проведена оценка его погрешности. В метрологии определение «погрешность» является одним из центральных, причем в нем отражены понятия «погрешность результата измерения» и «погрешность средства измерения». Эти два понятия близки друг к другу и обычно их классифицируют по одинаковым признакам.

погрешность измерения — отклонение измеренного значения величины от ее истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Выяснить с абсолютной точностью истинное значение измеряемой величины, как правило, невозможно, поэтому невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Это отклонение принято называть ошибкой измерения. (В ряде источников, например в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно рекомендации РМГ 29-99 термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный, а РМГ 29-2013 его вообще не упоминает ). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины х_д, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него . Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому при записи результатов измерений необходимо указывать, какова их точность. Например, запись T = 2,8 ± 0,1 с; P=0,95 означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с до 2,9 с с доверительной вероятностью 95%.

В конце XX века в международную метрологию была введена концепция неопределенности результата измерения, в которой не рассматриваются истинное, действительное значения измеряемой величины и погрешность измерения. Вместо этого количественно оценивается «сомнение в измеряемой величине». Неопределенность, так же как и погрешность, указывается вместе с результатом измерения. Наиболее полная запись может выглядеть следующим образом: «100,02147±0,00079 г., где число, стоящее после знака «±», — расширенная неопределенность U = ku_c, полученная для u_c = 35 мг и k = 2,26, соответствующего уровню доверия 95% для t-распределения c 9 степенями свободы».

Погрешностью результата измерения называют отклонение найденного значения от истинного значения измеряемой величины. Так как истинное значение измеряемой величины неизвестно, то при количественной оценке погрешности пользуются действительным значением физической величины. Это значение находится экспериментально и настолько близко к истинному значению, что для поставленной измерительной задачи может быть использовано вместо него.

Погрешность средства измерения представляет собой разность между показаниями средства измерения и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых используемым средством.

По форме количественного выражения погрешности делят на абсолютные, относительные и приведенные.

Абсолютной погрешностью Δ, выражаемой в единицах измеряемой величины, называют отклонение результата измерения А от истинного значения Х.

Δ = А — Х, (1.7)

Разновидностью абсолютной погрешности является предельная погрешность Δт — погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может быть.

Абсолютная погрешность характеризует значение и знак полученной погрешности, но не определяет качество самого измерения. Характеристикой качества измерения является точность измерения, отражающая меру близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Высокой точности измерений соответствует малая погрешность. Например, измерение силы тока в 10 и 100 А может быть выполнено с идентичной абсолютной погрешностью А = ± 1 А. Однако качество первого измерения хуже второго. Поэтому для сравнения качества измерений, используют относительную погрешность.

Относительной погрешностью δ называют отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

δ = Δ / Х, (1.8)

Мерой точности измерений служит показатель, обратный модулю относительной погрешности: КТ — 1/ | δ |. Относительную погрешность δ часто выражают в процентах:

δ = 100Δ / Х %

Так как обычно Δ << Х то относительная погрешность может быть определена как δ << Δ / А или δ ≈ 100Δ / А %.

Приведенной погрешностью γ, выражающей потенциальную точность измерений, называют отношение абсолютной погрешности Δ к некоторому нормирующему значению XN (например, к конечному значению шкалы):

(1.9)

По характеру (закономерности) проявления погрешности делят на три основных класса: систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематические погрешности Δс — составляющие погрешности измерений, сохраняющиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при многократных измерениях величины в одних и тех же условиях . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Такие погрешности выявляют детальным анализом их возможных источников и уменьшают введением соответствующей поправки, применением более точных приборов, калибровкой приборов с помощью рабочих мер и т.п.

Случайные погрешности — составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом по значению и знаку при повторных измерениях одной и той же физической величины в одних и тех же условиях. Данные погрешности проявляются при повторных измерениях одной и той же физической величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Описание и оценка случайных погрешностей возможны только на основе теории вероятностей и математической статистики.

Грубые погрешности (промахи) — погрешности, существенно превышающие ожидаемые при данных условиях измерения. Они возникают из-за ошибок оператора или неучтенных внешних воздействий. В случае однократного измерения обнаружить промах нельзя. При многократных наблюдениях промахи выявляют и исключают в процессе обработки результатов наблюдений.

Итак, если не учитывать промахи, абсолютная погрешность измерения Δ определяемая выражением (2.1), представляют суммой систематической и случайной составляющих:

(1.10)

Значит абсолютная погрешность, как и результат измерения — случайная величина.

По причинам возникновения погрешности измерения подразделяют на методические, инструментальные, внешние и субъективные (личные).

Методические погрешности возникают из-за несовершенства метода измерений, некорректности алгоритмов или формул, по которым производят вычисления результатов измерений, из-за влияния выбранного средства измерения на измеряемые параметры сигналов и т.д.

Рисунок 1.3 К примеру 2.1

Пример 2.1 Проанализируем появление методической погрешности при измерении сопротивления методом вольтметра-амперметра (рис. 2.1). Для определения значения сопротивления Rx резистора необходимо измерить ток 1R, протекающий через резистор и падение напряжения на нем UR. В приведенной схеме, реализующей этот метод, падение напряжения на резисторе измеряется вольтметром непосредственно, в то время как амперметр измеряет суммарный ток, одна часть которого протекает через резистор, другая часть через вольтметр. В результате измеренное значение сопротивления будет не RX = UR/IR а R’ = URI(IR + Iy), и появится методическая погрешность ΔR = R’ – RХ,. Методическая погрешность уменьшается и стремится к нулю При токе IV → 0, т.е. при внутреннем сопротивлении вольтметра RV → ∞.

Инструментальные (аппаратурные) погрешности возникают из-за несовершенства средств измерения, т.е. от их погрешностей. Уменьшают инструментальные погрешности применением более точного прибора.

Внешние погрешности связаны с отклонением одной или нескольких влияющих величин от нормальных значений или выходом их за пределы нормальной области.

Субъективные погрешности вызваны ошибками оператора при отсчете показаний (погрешности от небрежности и невнимания оператора).

По характеру поведения измеряемой величины в процессе измерений различают статические и динамические погрешности.

Статические погрешности возникают при измерении установившегося во времени значения измеряемой величины.

Динамические погрешности имеют место при динамических измерениях, когда измеряемая физическая величина изменяется во времени. Причина появления динамических погрешностей состоит в несоответствии скоростных (временных) характеристик прибора и скорости изменения измеряемой величины.

По условиям эксплуатации средства измерений различают основную и дополнительную погрешности.

Основная погрешность средств измерений имеет место при нормальных условиях эксплуатации, оговоренных в регламентирующих документах.

Дополнительная погрешность средств измерений возникает из-за выхода какой-либо из влияющих величин за пределы нормальной области значений.

1.3.2 Классы точности средств измерений

При измерениях в повседневной жизни повышенная точность не всегда нужна. Однако определенная информация о возможной инструментальной составляющей погрешности измерения необходима и поэтому она должна быть каким-либо образом отражена. Такая информация содержится в указании класса точности средства измерения.

Класс точности — обобщенная характеристика средства измерения, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на точность, значения которых устанавливают в соответствующих стандартах. Можно отметить такое примечание: «Класс точности средств измерений характеризует их свойства в отношении точности, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполненных с помощью этих средств».

Классы точности присваивают средствам измерений при разработке на основании исследований и испытаний представительной партии таких устройств. Обычно их устанавливают в технических условиях на средство измерения. Пределы допускаемых погрешностей нормируют и выражают в форме абсолютной (∆си = ∆), относительной (δси = δ) или приведенной (γси = γ) погрешностей (далее индекс «си» для упрощения опущен). Форма выражения зависит от характера изменения погрешностей в пределах диапазона измерений, а также от условий применения и назначения средства измерения.

Абсолютная погрешность средств измерений ∆СИ = ∆ состоит из аддитивной (суммируемой с измеряемой величиной) и мультипликативной(умножаемой на измеряемую величину) составляющих. Аддитивная составляющая образуется, например, из-за неточности установки на нуль перед измерением и т.д. Мультипликативные погрешности появляются вследствие изменения коэффициента усиления усилителя, коэффициента передачи цепи.

1.3.3 Общие сведения об обработке результатов измерений

Из-за влияния многочисленных и принципиально неустранимых факторов, обусловливающих случайные погрешности, результат каждого измерения Ai будет отличаться от истинного значения X измеряемой величины: Аi — X = Δ Xi. Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измерения.

Истинное значение X нам неизвестно. Однако, проведя большое количество измерений исследуемой величины X, можно выявить следующие статистические закономерности:

1) Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить среднее значение, то положительные и отрицательные отклонения отдельных результатов измерений от среднего значения имеют приблизительно равную вероятность. Это является причиной того, что имеется равная вероятность (частота) отклонения результатов измерений от истинного значения величины в сторону уменьшения и увеличения, в том случае, когда систематическая погрешность равна нулю.

Среднее арифметическое значение, вычисленное на основании ряда измерений, является наиболее достоверным значением, которое можно приписать измеряемой величине. При вычислении среднего арифметического большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются.

2) Вероятность (частота) появления больших отклонений от полученного результата значительно меньше вероятности (частоты) появления малых отклонений. Эти статистические закономерности справедливы лишь при многократном повторении измерений.

После обработки результатов измерений, получается не абсолютно достоверный, а наиболее вероятный результат и этим результатом будет среднее арифметическое значение ряда измерений:

(1.11)

где n — число измерений.

Указанные статистические закономерности большого числа измерений позволяют поставить вопрос о законе, по которому происходит распределение случайных погрешностей. В практике электрорадиоизмерений наиболее распространенным законом распределения погрешностей является гауссовский закон распределения. Аналитически он описывается выражением:

(1.12)

где р(ΔХ) — плотность вероятности случайной погрешности ΔХ = А-X; σ — параметр, характеризующий степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительного истинного значения X.

По своему смыслу плотность вероятности равна отношению вероятности попадания случайной величины внутрь интервала ΔХ к длине этого интервала в предположении, что последняя стремится к нулю.

Величину σ называют средним кнадратическим отклонением случайной погрешности измерения и определяют из соотношения:

(1.13)

где Аi- численный результат отдельного измерения, n — число измерений.

Характер кривых, описываемых (1.13), показан на рис. 1.4, а для трех значений σ. Функция (1.4) графически изображается колоколообразной кривой, симметричной относительно ординат, асимптотически

Рисунок 1.4

приближающейся к оси абсцисс. Максимум этой кривой получается в точке

ΔХ = 0, а величина этого максимума . Как видно из рис. 1.4, чем меньше σ, тем уже кривая и, следовательно, тем реже встречаются большие отклонения, т. е. тем точнее выполняются измерения.

Как отмечалось ранее, среднее арифметическое ряда измерений А является лишь наиболее достоверным значением измеряемой величины. Представляет интерес определение погрешности вычисления среднего арифметического значения. Оценивается эта погрешность с помощью величин, аналогичных тем, при посредстве которых производится оценка погрешности отдельного измерения. Если выполнить k серий измерений, в каждом из которых производится п отдельных измерений, и вычислить среднее арифметическое значение для каждой серии, то полученные средние

арифметические значения будут несколько различаться между собой. Эти средние значения будут отличаться от истинного значения X измеряемой величины на случайные величины и, следовательно, будут распределяться около X по Гауссовскому закону (1.4). Для получения представления о случайном разбросе среднего арифметического относительно точного значения X измеряемой величины нужно вычислить среднее квадратическое отклонение от среднего арифметического. В теории погрешностей доказывается, что это отклонение в n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения, т. е.

, (1.14)

σA — средняя квадратическая погрешность среднего

где

арифметического из ряда измерений;

σ — средняя квадратическая погрешность отдельного измерения;

n — число измерений в серии.

Из данного выражения видно, что увеличение числа повторных измерений n приводит к уменьшению σA результата измерений. средней квадратической погрешности

На практике (особенно при малом значении n) необходимо оценить точность и надежность полученных результатов для среднего значения и среднего квадратического отклонения. Для этой цели пользуются доверительной вероятностью и доверительным интервалом. Под доверительной вероятностью понимают вероятность появления погрешности, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность — доверительной вероятностью.

На практике приходится оценивать погрешности по результатам сравнительно небольшого количества измерения. Применение формулы (1.14) в этом случае дает заниженное значение доверительного интервала, т. е. оценка точности измерения оказывается неоправданно завышенной. В этом случае уточнить доверительный интервал можно с помощью коэффициентов Стьюдента tn, которые зависят от задаваемой доверительной вероятности р и числа измерений n.

Для определения доверительного интервала среднюю квадратическую погрешность надо умножить на коэффициент Стьюдента. Окончательный результат можно записать так:

(1.15)

Значения коэффициентов tn, необходимых при расчетах приведены в табл. 1.1.

Общие сведения об обработке результатов измерений

Таблица 1.1 Коэффициенты Стьюдента t (Pд, n)

Контрольные вопросы:

• 1. Перечислите возможные причины проявления погрешностей.
• 2. Назовите признаки, по которым классифицируются погрешности.
• 3. Что называют абсолютной, относительной и приведенной погрешностями?
• 4. Что такое грубые погрешности (промахи)?
• 5. Какие характеристики погрешностей вам известны?
• 6. Сформулируйте свойства систематической, случайной и прогрессирующей составляющих погрешности измерений.
• 7. Приведите известные вам примеры методических погрешностей.
• 8. Назовите методы уменьшения систематических погрешностей?
• 9. Когда погрешность измерения может рассматриваться как случайная величина?
• 10. Назовите основные законы распределений случайных погрешностей.
• 11. Как описывается и когда используется распределение Стьюдента?
• 12. Что называют доверительной вероятностью и доверительным интервалом?
• 13. Назовите правила округления результатов измерений.
• 14. Перечислите алгоритмы обработки результатов прямых многократных измерений.
• 15. Расскажите о критерии «трех сигм».

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Измерение
• Класс точности
• Метрология
• Методы электроаналитической химии
• Отклонение от круглости
• Мультипликативная погрешность
• Неопределенность измерения
• измерение , методы измерений ,

Надеюсь, эта статья про погрешность измерения, была вам полезна,счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое погрешность измерения, погрешности как характеристики средств измерений
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
МЕТРОЛОГИЯ И ЭЛЕКТРОРАДИОИЗМЕРЕНИЯ

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях,
мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.

1. Погрешности измерений, их виды и классификация.

Погрешность результата измерения — это разница между результатом измерения и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

Погрешность средства измерения — разность между показаниями средства измерения и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством.

Измерение — экспериментальное сравнение, данной величины с другой, такого же рода величиной, принятой за единицу меры.

Задачей измерения является:

1) получение приблизительного значения измеряемой величины;

2) оценка величины погрешности.

Измерения могут быть прямыми и косвенными.

Прямое измерение непосредственное сравнение измеряемой величины с единицей измерения с помощью приборов и устройств, проградуированных в соответствующих единицах (измерение линейных размеров линейкой, штангенциркулем; измерение времени секундомером; взвешивание и т.п.)

Косвенно измеряемая величина рассчитывается с помощью некоторой зависимости (формулы) от других величин, полученных прямыми измерениями (определение скорости v=s / t по пути и времени, плотности ρ= m / v по массе и объему и т.д.).

В зависимости от формы выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности.

Абсолютной погрешностью Δ, выражаемой в единицах измеряемой величины, называется отклонение результата измерения х от истинного значения хи:

Δ = х – хи.

Абсолютная погрешность характеризует величину и знак полученной погрешности, но не определяет качество самого проведенного измерения.

Понятие погрешности характеризует как бы несовершенство измерения. Качество (точность) первого измерения ниже второго. Поэтому, чтобы иметь возможность сравнивать качество измерений, введено понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью δ называется отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины.

Мерой точности измерений служит показатель, обратный модулю относительной погрешности.

По причинам возникновения (по виду источника):

1 Инструментальные погрешностивозникают из-за несовершенства средств измерения, т.е. от погрешностей средств измерений. Иногда эту погрешность называют аппаратурной.

2 Внешняя погрешность — важная составляющая погрешности измерения, связанная с отклонением одной или нескольких влияющих величин от нормальных значений или выходом их за пределы нормальной области (например, влияние влажности, температуры, внешних электрических и магнитных полей, нестабильности источников питания, механических воздействий и т.д.).

В большинстве случаев внешние погрешности являются систематическими и определяются дополнительными погрешностями применяемых средств измерений.

3 Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерений, влиянием выбранного средства измерений на измеряемые параметры сигналов, некорректностью алгоритмов или расчетных формул, по которым производят вычисления, округления результатов, отличием принятой модели объекта измерений от той, которая правильно описывает его свойство, определяемое путем измерения.

Отличительной особенностью методических погрешностей является то, что они не могут быть указаны в нормативно-технической документации на используемое средство измерений, поскольку от него не зависят, а должны определяться оператором в каждом конкретном случае. В связи с этим оператор должен четко различать фактически измеренную им величину и величину, подлежащую измерению.

Если, например, вольтметр имеет недостаточно высокое входное сопротивление, то его подключение к схеме способно изменить в ней распределение токов и напряжений. При этом результат измерения будет отличаться от действительного.

 4 Субъективные (личные) погрешности вызываются ошибками оператора при отсчете показаний средств измерения (погрешности от небрежности и невнимания оператора, от параллакса, т.е. от неправильного направления взгляда при отсчете показаний стрелочного прибора и пр.).

Подобные погрешности устраняются применением современных цифровых приборов или автоматических методов измерения.

В зависимости от влияния характера изменения измеряемых величинпогрешности средств измерений делят на статические и динамические.

Статическая погрешность — это погрешность средств измерений применяемого для измерения физической величины, принимаемой за неизменную.

Динамической называют погрешность средств измерений, возникающая дополнительно при измерении переменной физической величины и обусловленная несоответствием его реакции на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.

По условиям, в которых используются средства измерения, различают основную и дополнительную погрешности.

Основная погрешность измерений — та погрешность, которая имеет место при нормальных условиях его эксплуатации, оговоренных в регламентирующих документах (паспорте, технических условиях и пр.)

Дополнительная погрешность средства измерения возникает вследствие выхода какой-либо из влияющих величин (температуры, влажности и др.) за пределы нормальной области значений.

2. Свойства случайных погрешностей.

По характеру (закономерности) проявленияпогрешности делятся на систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематическая погрешность Δс — составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

Величина систематической погрешности Δс характеризует один из показателей качества измерений — правильность полученного результата, чем меньше величина Δс, тем правильнее полученный результат.

Систематическая ошибка может быть обусловлена неисправностью прибора, несовершенством методики измерений (например неучетом сил трения) и т.д

Такие погрешности могут быть выявлены путем детального анализа возможных их источников и уменьшены введением соответствующей поправки, применением более точных приборов, калибровкой приборов с помощью рабочих мер и пр. Однако полностью их устранить нельзя.

Грубая погрешность (промах) — это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

Данные погрешности возникают из-за ошибок оператора или неучтенных внешних воздействий.

Случайная погрешность       — изменяющаяся случайным образом по знаку и значению при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях.

Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).

Величина случайной погрешности       характеризует другой показатель качества измерений — сходимость результатов при повторных измерениях одного и того же значения измеряемой физической величины.

В отличие от систематических погрешностей случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений путем введения поправки, однако, их можно существенно уменьшить путем многократного измерения этой величины и последующей статистической обработкой полученных результатов.

Свойства случайных погрешностей:

1.В данном ряду измерений случайные погрешности не превосходят определённого предела, зависящего от условий измерений.

2.Малые по абсолютной величине случайные погрешности встречаются чаще, чем большие.

3.Появление положительных и отрицательных погрешностей равновероятно.

4.Среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к 0 при неограниченном увеличении числа измерений.

Согласно четвертому свойству случайных погрешностей величина [Δ] / n в равенстве (4.3) при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю.

Следовательно, величина [l] / n при этих условиях будет приближаться к истинному значению Х. На основании этого арифметическую середину (среднее арифметическое из результатов измерений) принято считать наиболее надежным или вероятнейшим результатом из равноточных измерений одной и той же величины при любом числе измерений.

L = [l] / n = (l1 + l2 + l3 + … + ln) / n.

3.Средняя квадратическая, предельная и относительная погрешности.

Средняя квадратическая погрешность определяется по формуле. М = т/ √ п, где т — средняя квадратическая погрешность одного измерения. Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды — в прямом и обратном направлениях, например длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае m = d 2 n.

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное. Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах, в расчетах обозначается буквой – δ. Приведённая погрешность – погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона.

В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.

Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное большинство случайных погрешностей (68,3%) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ± m; в интервал от 0 до ±2 m попадает 95,4%, а от 0 до ±3 m – 99,7% погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2 m, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны 3 m. На основании этого в качестве предельной погрешности ∆пред для данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т.е. ∆пред = 3 m.

На практике во многих работах для повышения требований точности измерений принимают ∆пред = 2 m. Погрешность измерений, величины которых превосходят ∆пред, считают грубыми.

4.Оценка погрешности функции измеренных величин.

В большинстве случаев практики топографо-геодезических и маркшейдерских работ искомые величины получают в результате вычислений как функции измеренных величин. Полученные при этом результаты будут содержать погрешности, которые зависят как от погрешностей аргументов (измеренных величин), так и от вида функций. Возникает задача оценки точности функций измеренных аргументов.

Дана функция:

где

Пусть в результате измерений получены приближенные значения                        этих величин.

Тогда

Выражение примет вид

Процесс измерения включает:

· Объект – свойства которого, например, размер характеризуют результат измерения.

· Техническое средство – получать результат в заданных единицах.

· Метод измерений – обусловлен теорией практических действий и приёмов технических средств.

· Исполнитель измерений – регистрирующее устройство.

· Внешняя среда, в которой происходит процесс измерений.

Совокупность этих элементов, взаимодействуя между собой, образуют условия измерений, которые определяют окончательный результат и его точность. Если измерения происходят в одних и тех же условиях, то их результат называется равноточным. Если хотя бы один из элементов, составляющий совокупность, меняется, то результат измерений неравноточный.

4. Основные правила выполнения вычислений .

Важной частью геодезических работ являются вычисления,

во-первых, потому что на их основе производится анализ всей графики и необходимых оценок для решения инженерных задач,

во-вторых, вычисления занимают большой удельный вес во всем комплексе рассматриваемых работ. Для проведения вычислительных работ должен быть установлен порядок математических действий, а также необходимая вычислительная техника. По-прежнему применяются математические таблицы и номограммы.

При геодезических вычислениях приходится иметь дело с так называемыми приближенными числами. Приближенные числа появляются в результате ошибок измерений; из-за неточности формул, методов и моделей; из-за ошибок округлений и т.п. Существуют правила вычислений с приближенными числами, которые позволяют облегчить вычисления и применить наиболее подходящие средства вычислений.

При проведении вычислений необходимо руководствоваться следующими правилами:

— в числах, с которыми оперируют при вычислениях, необходимо различать десятичные знаки, значащие и верные цифры. Десятичными знаками являются все знаки после запятой. Значащими цифрами называются все цифры, кроме нулей слева и тех нулей справа, которые являются результатом округления. Например, у числа 1200, отражающего округленное значение 1211, только две цифры (1 и 2) являются значащими. Верными цифрами называют цифры, заслуживающие доверия в данном числе. Например, в сумме углов треугольника 180 все три цифры верные. В числе же 20,372 м, обозначающем длину некоторого отрезка, измеренного с точностью до 1 см, верными цифрами являются 20,37 м;

• точность результата определяется его погрешностью;
• точность вычислений должна соответствовать точности исходных данных, которая определяется практической потребностью;
• при вычислениях числа надо ограничивать всегда таким образом, чтобы все цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя была бы сомнительной;
• при сложении и вычитании приближенных чисел, содержащих неодинаковое количество десятичных знаков, целесообразно оставить у них десятичных знаков больше, чем у числа с их наименьшим количеством;
• при умножении двух чисел с одинаковым количеством значащих цифр результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их было в сомножителе;
• при умножении или делении приближенных чисел с неодинаковым количеством значащих цифр фактически умножается (делится) столько значащих цифр в каждом числе, сколько их имеется в числе с наименьшим количеством плюс одна цифра. Таким образом, при умножении 21378,28 на 3,25 первое число следует округлить до 21380, а затем произвести действие, при этом в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет меньший сомножитель. Таким образом, произведение (частное) имеет столько верных значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим количеством значащих цифр;
• при извлечении квадратного или кубического корня из приближенного числа количество значащих цифр в результате должно соответствовать количеству цифр подкоренного выражения. При возведении числа в степень в полученном результате оставляют столько значащих цифр, сколько их в возводимом в степень числе;

• при вычислении среднего какой-либо величины, отдельные значения которой близки, необходимо записать общую часть значения, для остатков вычислить поправки;
• для каждого вычисления следует предварительно составить формуляр.

Для исключения погрешностей вычислений при заполнении вычислительной документации должны соблюдаться некоторые положения, исключающие появление погрешностей вычислений и повышающие эффективность вычислительных работ. Для этого записи в журналах и ведомостях вычислений должны вестись четким почерком хорошо отточенным карандашом, чернилами или тушью. Подскабливание и подтирание вычислений не разрешаются. Места, где найдены погрешности, должны быть перечеркнуты и сделаны записи, указывающее место, где сделаны новые записи. Если вычисления ведутся по схемам, не предусматривающим внутреннего контроля, то они должны быть сделаны независимо двумя исполнителями. Вычисления должны заканчиваться определением погрешностей и обязательным их сравнением с допустимыми величинами, предусматриваемыми соответствующими инструкциями.

Одним из примеров вычислений являются правила округления, заключающиеся в следующем:

•  последнюю цифру необходимо увеличить на единицу, если следующая за ней цифра больше 5, например, 10,276 = 10,28;
•  последняя цифра не изменяется, если следующая за ней меньше 5, например, 121,2873 = 121,287;
• последнюю четную цифру необходимо оставить без изменения, если следующая за ней цифра равна 5, например, 27,3745 = 27,374;
• последнюю нечетную цифру необходимо увеличить на единицу, если следующая за ней цифра равна 5, например, 17,2575 = 17,258.

Заключение

Таким образом, при измерениях необходимо: в первую очередь, не спешить, так как это приведет к многочисленным ошибкам и еще более удлиненному времени для данной задачи, а во-вторых, нужно четко следовать правилам вычислений.

Появление случайных погрешностей зависит от большого числа несущественных факторов. Случайные ошибки от каждого из них невозможно выявить, учесть и исключить в отдельности. Но можно рассматривать как результат суммарного воздействия всех факторов на результат измерений и учитывать с помощью методов теории вероятности.

В отличие от случайных систематические погрешности остаются постоянными или закономерно изменяются. При надлежащей постановке эксперимента их обычно удается вычислить и исключить из результатов.

Особенностью измерений является то, что при их повторении на более высоком научно-техническом уровне результат измерения не совпадает абсолютно точно с ранее полученными значениями (например, разработаны новые электронные средства линейно-угловых измерений высокой точности, которые позволяют пересмотреть в сторону уменьшения некоторые допуски на различные виды работ в строительстве).

Это приводит к заключению, что полностью исключить погрешности невозможно, можно лишь снизить их до минимальных размеров, тем самым увеличить точность, а, следовательно, и качество выпускаемых строительных материалов, изготовление конструкций и деталей, а если взять вообще, то и возведение зданий и сооружений полностью.

Список использованной литературы

1. Смалев В. И. Геодезия с основами картографии и картографического черчения. Издательство ЮРАЙТ, 2023.

2. Рачков М. Ю. Физические основы измерений. Издательство ЮРАЙТ, 2023.

3. Степанова Е. А, Скулкина Н.А, Волегов А.С. Метрология и Измерительная техника: основы обработки результатов измерений. Издательство ЮРАЙТ, 2022.

4. Бузунова М. Ю, Ковалевский И. Г. Методы обработки результатов измерений. Издательство Иркутский государственный аграрный университет им. А.А. Ежевского (Молодежный).

6.